Geometria varietatilor diferentiabile

Descriere

Obiectivul principal în topologia şi geometria diferenţială îl constituie studiul proprietăţilor geometrice şi topologice ale varietăţilor diferenţiabile şi ale varietăţilor diferenţiabile înzestrate cu diverse structuri geometrice. Va­rietăţile diferenţiabile sunt spaţii topologice pe care se poate dezvolta un calcul diferenţial şi integral asemănător celui valabil pentru aplicaţii între spaţii vectoriale reale (normate). Totodată, varietăţile diferenţiabile con­stituie generalizări şi abstractizări ale curbelor şi suprafeţelor din spaţiul euclidian tridimensional şi, mai general, ale subvarietăţilor din spaţii euclidiene.

Varietăţile diferenţiatele formează o clasă de spaţii topologice pe care există măcar o structură diferenţiabilă. Structurile di­ferenţiabile permit realizarea unui proces de liniarizare, specific calculu­lui diferenţial şi integral, proces care uşurează studiul, permiţând folosirea procedeelor specifice algebrei (ale algebrei liniare, în special), precum şi cele din analiza matematică. Vor rezulta câteva noţiuni fundamentale: spaţiile tangent, cotangent şi de tensori, fibratele vectoriale corespunzătoare, secţiunile diferenţiabile în aceste fibrate, operaţii cu caracter algebric şi diferenţial pe aceste secţiuni şi obţinerea unor structuri geometrice remar­cabile legate de varietăţile diferenţiabile

Lucrarea am structurat-o în două părți. Prima parte, prezintă câteva preliminarii necesare, în a două parte sunt prezentate proprietăţi imediate legate de definiţia va­rietăţii diferenţiabile, de funcţii diferenţiabile, aplicaţii diferenţiabile între varietăţi, partiţia diferenţiabilă a unităţii. Apoi, se defineşte spaţiul tan­gent şi se introduc diverse construcţii cu caracter algebric şi diferenţial, legate de acesta. Prin introducerea conceptului de fibrat tangent şi a celor derivate din acesta, se poate lucra cu câmpuri vectoriale, câmpuri tensoriale etc. şi se poate introduce operatorul fundamental de derivare Lie.

în cercetarea proprietăţilor locale şi globale ale varietăţilor diferenţiabile sunt folosite metode şi rezultate din geometria euclidiană şi afină, algebră, în special algebra liniară, analiza matematică, topologie, teoria ecuaţiilor diferenţiale şi cu derivate parţiale etc…